Инвариантные комплексные структуры и когомологии нильмногообразий

Мы рассматриваем левоинвариантные комплексные структуры на вещественных нильпотентных группах Ли или, что то же самое, интегрируемые комплексные структуры на вещественных нильпотентных алгебрах Ли. Левоинвариантная комплексная структура на односвязной нильпотентной группе Ли $G$ определит также левоинвариантную комплексную структуру и на нильмногообразии $G/\Gamma$, если группа Ли $G$ содержит кокомпактную решетку $\Gamma$. В качестве основного инструмента для классификации вещественных нильпотентных алгебр Ли (нильмногообразий), допускающих интегрируемую (левоинвариантную) комплексную структуру, предлагается специализированная минимальная модель ${\mathcal M}_{\mathfrak g}^J$ нильпотентной алгебры Ли ${\mathfrak g}$ (нильмногообразия $G/\Gamma$) с комплексной структурой $J$ [2], [3].
Известно, что комплекс де Рама нильмногообразия $\Lambda^*(G/\Gamma)$ можно отождествить с подкомплексом $\Lambda^*_{\Gamma}(G) \subset \Lambda^*(G)$ левоинвариантных дифференциальных форм на группе Ли $G$ по отношению к действию решетки $\Gamma$. В свою очередь в $\Lambda^*_{\Gamma}(G)$ можно выделить подкомплекс $\Lambda^*_{G}(G)$ форм, инвариантных относительно левого действия всей группы Ли $G$. Комплекс $\Lambda^*_{G}(G)$ естественно изоморфен коцепному комплексу $\Lambda^*(\mathfrak{g})$ алгебры Ли ${\mathfrak g}$. Классическая теорема Номидзу утверждает, что включение $\psi: \Lambda^*(\mathfrak{g}) \to \Lambda^*(G/\Gamma)$ индуцирует кольцевой изоморфизм в когомологиях $\psi^*: H^*(\mathfrak{g}) \to H^*(G/\Gamma, {\mathbb R})$. В работе [1] был сформулирован вопрос (гипотеза) о существовании канонического изоморфизма в духе теоремы Номидзу
\begin{equation} \label{quasiNomizu1} H^{p,q}({\mathfrak g}_{\mathbb C}, J) \cong H^{p,q}(G/\Gamma, \bar \partial), \end{equation}
где $H^{p,q}({\mathfrak g}_{\mathbb C}, J)$ — когомологии Дольбо комплексификации ${\mathfrak g}_{\mathbb C}$ вещественной алгебры Ли ${\mathfrak g}$ с интегрируемой комплексной структурой $J$, а $H^{p,q}(G/\Gamma, \bar \partial)$ — когомологии Дольбо нильмногообразия $G/\Gamma$ с левоинвариантной комплексной структурой $J$. Мы обсудим современное состояние дел в этом вопросе.
Доклад основан на работах автора [2], [3].

Список литературы
[1] L.A. Cordero, M. Fernandez, A. Gray, L. Ugarte. Compact nilmanifolds with nilpotent complex structures: Dolbeault cohomology. Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), no. 2, 5405–5433.
[2] Д.В. Миллионщиков. Минимальная модель нильмногообразия и пространство модулей комплексных структур. Труды МИАН 325 (2024), 201–231.
[3] Д.В. Миллионщиков. Узкие алгебры Ли и интегрируемые комплексные структуры. Труды МИАН 329 (2025), 165–189.