Аннотация:
В работе А.В. Пухликова и А.Г. Хованского [3] было предложено описание кольца когомологий торического многообразия $X$ как фактора кольца дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами по аннулятору многочлена объема многогранника моментов многообразия $X$. Эта конструкция была обобщена К. Кавехом [1], который заметил, что кольцо когомологий многообразия полных флагов может быть получено в результате применения аналогичной конструкции ко многограннику Гельфанда–Цетлина. Впоследствии это описание было использовано в совместной работе докладчика с В.А. Кириченко и В.А. Тимориным [2], в которой была предложена реализация исчисления Шуберта на многообразиях полных флагов при помощи пересечения определенных наборов граней многогранников Гельфанда–Цетлина.
Доклад будет посвящен обобщению этих результатов на случай $K$-теории гладких торических многообразий и обобщенных флаговых многообразий $G/B$. При этом для $K$-теории вместо алгебры дифференциальных операторов нужно рассматривать алгебру, порожденную операторами сдвига на решетке, и факторизовать ее по аннулятору многочлена Эрхарта многогранника. Я собираюсь подробно остановиться на случае многообразия флагов $\mathrm{GL}(n)/B$ и разобрать алгоритм для вычисления произведений классов структурных пучков многообразий Шуберта (или, в комбинаторных терминах, произведений многочленов Гротендика): для этого мы предъявим в кольце многогранника Гельфанда–Цетлина элементы, отвечающие классам структурных пучков многообразий Шуберта, и опишем их произведения в терминах граней многогранников Гельфанда–Цетлина. Кроме того, я расскажу, как получить аналогичное описание $T$-инвариантной $K$-теории гладких торических многообразий и многообразий полных флагов типа $A$ и как мог бы выглядеть гипотетический ответ в случае редуктивных групп других типов.
Доклад основан на совместной работе с Л.В. Мониным [4], [5].
Список литературы
[1] K. Kaveh. Note on cohomology rings of spherical varieties and volume polynomial. J. Lie Theory 21 (2011), no. 2, 263–283.
[2] V. Kirichenko, E. Smirnov, V. Timorin. Schubert calculus and Gelfand–Zetlin polytopes. Russian Mathematical Surveys 67 (2012), no. 4, 685.
[3] A. Khovanskii,
A. Pukhlikov. Finitely additive measures of virtual polyhedra. Algebra i Analiz 4 (1992), no. 2, 161–185.
[4] L. Monin, E. Smirnov. Polyhedral models for $K$-theory of toric and flag varieties. Sém. Lothar. de Combinatoire 89B (2023), article 76 (Proceedings of FPSAC2023).
[5] L. Monin, E. Smirnov.
Polyhedral models for $K$-theory of toric and flag varieties, in preparation, 2026.
|
