Простые алгебры Новикова

Алгебры Новикова появились в работе И.М. Гельфанда и И.Я. Дорфман и в работе А.А. Балинского и С.П. Новикова. Изучением простых алгебр Новикова занимались В.Т. Филиппов, Е.И. Зельманов. Большой прорыв был сделан в работах Дж.М. Осборна и С. Су. В частности, они классифицировали конечномерные алгебры Новикова в характеристике $p>2$. Как оказалось, эти алгебры получаются с помощью конструкции Гельфанда–Дорфман над алгебрами усеченных полиномов.
Конструкция Гельфанда–Дорфман состоит в следующем. Пусть $A$ — ассоциативная, коммутативная алгебра с дифференцированием $d$ и выделенным элементом $\lambda$. Тогда операция
$$a\circ b = ad(b)+\lambda ab$$
задает структуру алгебры Новикова.
В работе [1] был предложен новый подход к изучению алгебр Новикова. А именно, была установлена связь между алгебрами Новикова и алгеброй правых умножений.
Пусть $R_a$ — оператор правого умножения в алгебре Новикова $N$, то есть $R_a(x)=x\circ a$, и $R$ — подалгебра ${\rm End\,}N$, порожденная элементами вида $R_a$. Аналогично определяются операторы левых умножений $L_a$ и алгебра $L$, а также алгебра $M$, порожденная операторами из $R$ и $L$. Отображение $d_x$, определенное правилом $d_x(u)= [L_x,u]$ — дифференцирование алгебры $R$, где $L_x$ — оператор левого умножения и $[\cdot\,,\cdot]$ — коммутатор в $R$. Множество таких дифференцирований обозначим $D_N$.

Теорема 1. Пусть $N$ — неассоциативная конечномерная простая алгебра Новикова над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики. Тогда радикал $J$ алгебры $R$ не равен нулю, $R$ содержит единицу $M$, $R$ является $D_N$ простой и $R/J\cong F$.

Теорема 2. Пусть $N$ — неассоциативная конечномерная простая алгебра Новикова над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики. Тогда существуют такие элементы $x,y\in N$, что отображение $\varphi\colon N\to R$, определенное правилом $\varphi(z)=d_z(R_y)$, будет изоморфизмом алгебры Новикова $N$ и алгебры Новикова, полученной из алгебры $R$ с помощью конструкции Гельфанда–Дорфман для дифференцирования $d_x$ и элемента $R_x$.
В частности, был закрыт вопрос в характеристике 2. В работе [2] был доказан аналогичный результат и для произвольных полей.
Развивая идеи этих работ, в [3] удалось показать, что всякая алгебра Новикова допускает на своем носителе структуру алгебры Новикова–Пуассона.

Теорема 3. Пусть $\langle A,\circ\rangle$ — неассоциативная простая алгебра Новикова. Тогда умножение $a\cdot_y b= (a,b,y)$ для некоторого $y\in A$ ассоциативно, $\langle A,\cdot_y,\circ\rangle$ — алгебра Новикова–Пуассона. Если $A\cdot_y A=A$, то $\langle A,\cdot_y\rangle$ — унитальна, дифференциально проста относительно $d = -D_{1,1}$, где $D_{a,b}(x) =ax\circ b- a\circ xb$ и $\langle A,\circ\rangle$ получается конструкцией Гельфанда–Дорфман с помощью $d$ и элемента $1\circ 1$.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ (проект 25–41–00005).

Список литературы
[1] V.N. Zhelyabin, A.S. Zakharov. On finite-dimensional simple Novikov algebras of characteristic p. Siberian Mathematical Journal 65 (2024), no. 3, 680–687. DOI: 10.1134/S0037446624030169.
[2] A.P. Pozhidaev, V.N. Zhelyabin. On simple and semisimple finite-dimensional Novikov algebras and their automorphisms, Journal of Algebra 689 (2026), 1–26.
[3] A.P. Pozhidaev, A.S. Zakharov, V.N. Zhelyabin. Embedding of Novikov algebras into Novikov–Poisson algebras, Witt doubles, isomorphisms of simple Novikov algebras, in print.