Локальная версия теоремы Мацумуры-Монского, неравенство Чулкова и морсификации инвариантов

Теорема Мацумуры–Монского, доказанная в статье [1], утверждает, что гладкая комплексная проективная гиперповерхность степени выше второй не может иметь бесконечной группы автоморфизмов (за исключением особого случая кривой четвёртой степени). Её локальной версией является утверждение из работы [2], известное в теории особенностей как гипотеза Казаряна.

Теорема. Пусть $f\colon (\mathbb{C}^n,0) \longrightarrow (\mathbb{C},0)$ — росток аналитической функции, имеющий нулевую 2-струю, инвариантный относительно действия компактной группы Ли $G$. Если $f$ имеет изолированную критическую точку в начале координат, то $G$ конечна.

Известно несколько доказательств гипотезы Казаряна. Элементарное доказательство, основанное на анализе геометрии многогранника Ньютона инвариантного ростка, было дано В. А. Васильевым в работе [2], доказательство Мацумуры и Монского из [1] может быть довольно легко адаптировано под аналитические ростки, но, вероятно, наибольший интерес представляет доказательство С.П. Чулкова [4]. Чулков выводит гипотезу Казаряна из следующего неравенства.

Теорема. Пусть $f\colon (\mathbb{C}^n,0) \longrightarrow (\mathbb{C},0)$ — росток аналитической функции с изолированной критической точкой в начале координат, имеющий нулевую 2-струю. Если $f$ инвариантен относительно нетривального действия группы $\mathbb{Z}_p$, $p$ — простое, то кратность критической точки $f$ не менее $p-1$.

Гипотеза Казаряна легко выводится из этого утверждения, поскольку компактная группа Ли содержит циклические подгруппы любого порядка, а критическая точка бесконечной кратности не изолирована. Интерес представляют обобщения неравенства Чулкова, но доказательство самого Чулкова, основанное на рассмотрении действия группы $\mathbb{Z}_p$ на гомологиях множества уровня $f$, не может быть обобщено на группы составного порядка.
В докладе планируется обсудить обобщение неравенства Чулкова на случай произвольных абелевых групп и связь этой задачи с теорией инвариантных морсификаций, построенной Робертсом и Уоллом (см. [5], [6]).

Список литературы
[1] H. Matsumura, P. Monsky. On the automorphisms of hypersurfaces. J. Math. Kyoto Univ. 3 (1963), no. 3, 347–361.
[2] М.Э. Казарян. Характеристические классы лагранжевых и лежандровых особенностей. УМН 50 (1995), no. 4, 45–70.
[3] В.А. Васильев. Об одной задаче М.Э. Казаряна. Функц. анализ и его прил. 33 (1999), no. 3, 73–75.
[4] С.П. Чулков. О числе Милнора эквивариантной особенности. Мат. заметки, 71 (2002), no. 6, 950–953.
[5] M. Roberts. Equivariant Milnor numbers and invariant Morse approximations. J. L. M. S. s2-31 (1985), no. 3, 487–500.
[6] C.T.C. Wall. A note on symmetry of singularities. Bulletin of the London Mathematical Society 12 (1980), no. 3, 169–175.