Отображения комплексных и вещественных матриц, сохраняющие пучковое условие для вырожденности

В 1949 году Дьёдонне [1] доказал, что если $T\colon M_n(\mathbb{F}) \to M_n(\mathbb{F})$ — линейная биекция, сохраняющая множество вырожденных матриц, то $T$ имеет стандартный вид на $M_n(\mathbb{F})$, т. е. $T(A) = PAQ$ или $T(A) = PA^T Q$ для всех $A \in M_n(\mathbb{F})$, где $P, Q$ — невырожденные матрицы. Позднее были получены многочисленные обобщения этой теоремы, см. например [2], [3], [4], [5].
Впоследствии, в 2020 году, Костара [6] обобщил результат Дьёдонне для таких отображений $\varphi_1$ и $\varphi_2$ на алгебре матриц размера $n \times n$ над $\mathbb{F}=\mathbb{C}$, что по крайней мере одно из отображений $\varphi_1, \varphi_2$ является непрерывным или сюръективным и выполнено условие
\begin{equation} \label{Costara_condition} \operatorname{det}(\lambda A+B)=0 \ \Longleftrightarrow \ \operatorname{det}(\lambda \varphi_1(A)+ \varphi_2(B))=0 \quad \forall A, B \in M_n, \, \forall \lambda \in \mathbb{F}. \end{equation}
Его техника существенно опиралась на топологические свойства поля комплексных чисел. Мы представим аналогичный результат для произвольного алгебраически замкнутого поля $\mathbb{F}$ и любых отображений $\varphi_1, \varphi_2$ (не обязательно непрерывных или сюръективных), удовлетворяющих условию \eqref{Costara_condition}. В докладе мы обсудим доказательство результата над любым алгебраически замкнутым полем, основанное на статье [7], а также новые идеи, позволившие обобщить его на поле $\mathbb{R}$ вещественных чисел.
Наша техника существенно отличается от техники Костары и состоит в рассмотрении матриц с полным (или простым) спектром, т. е. $n \times n$ матриц, имеющих ровно $n$ различных собственных значений (комплексных или вещественных, в зависимости от постановки задачи). А именно, оказывается, что под действием группы ${\rm GL}_n$ левыми сдвигами любое конечное множество невырожденных матриц может быть преобразовано в множество, все матрицы которого имеют полный спектр. В докладе мы обсудим этот факт, представляющий независимый интерес, и его связь с исходной задачей.

Список литературы
[1] D.J. Dieudonné. Sur une généralisation du groupe orthogonal á quatre variables. Arch. Math. 1 (1949), 282–287.
[2] P. Botta. Linear maps that preserve singular and nonsingular matrices. Linear Algebra Appl. 20 (1978), 45–49.
[3] A. Fošner, P. Šemrl. Additive Maps on Matrix Algebras Preserving Invertibility or Singularity. Acta Math Sinica 21 (2005), 681–684.
[4] V. Tan, F. Wang. On determinant preserver problems. Linear Algebra Appl. 369 (2003), 311–317.
[5] C. de Seguins Pazzis. The singular linear preservers of non-singular matrices. Linear Algebra Appl. 433 (2010), 483–490.
[6] C. Costara. Nonlinear invertibility preserving maps on matrix algebras. Linear Algebra Appl. 602 (2020), 216–222.
[7] A.E. Guterman, A.M. Maksaev, V.V. Promyslov. Pairs of maps preserving singularity on subsets of matrix algebras. Linear Algebra Appl. 644 (2022), 1–27.