Группы автоморфизмов полных тороидальных орисферических многообразий

Пусть $\mathbb{K}$ — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики и $\mathbb{G}_a = (\mathbb{K},+)$ — аддитивная группа поля $\mathbb{K}$. Если группа $\mathbb{G}_a$ нетривиально действует на неприводимом алгебраическом многообразии $X$, то её образ $H$ в группе автоморфизмов многообразия $X$ называется $\mathbb{G}_a$-подгруппой на $X$. Пусть теперь на $X$ регулярно действует алгебраическая группа $F$. Если $F$ нормализует группу $H$, то $H$ называется $F$-корневой подгруппой на $X$. В этом случае $F$ действует на одномерной алгебре Ли $\operatorname{Lie} H$ умножением на характер $\chi$, называемый весом $F$-корневой подгруппы $H$.
Пусть $T$ — алгебраический тор. Нормальное неприводимое $T$-многообразие $X$ называется торическим, если оно обладает открытой $T$-орбитой. Важную роль при изучении групп автоморфизмов торических $T$-многообразий играют $T$-корневые подгруппы. Полное описание всех $T$-корневых подгрупп на произвольном торическом многообразии $X$ хорошо известно и восходит к знаменитой работе Демазюра [3]. Оказывается, что всякая $T$-корневая подгруппа на $X$ однозначно определяется своим весом, а множество весов всех $T$-корневых подгрупп на $X$ (эти веса называются корнями Демазюра) допускает комбинаторное описание в терминах веера, задающего многообразие $X$. Если вдобавок $X$ является полным, то тогда тор $T$ и все $T$-корневые подгруппы (их конечное число в этом случае) порождают связную компоненту единицы группы автоморфизмов многообразия $X$.
Пусть теперь $G$ — произвольная связная редуктивная группа. Естественным обобщением понятия торического многообразия для $G$-многообразий служит понятие сферического многообразия. А именно, нормальное неприводимое $G$-многообразие $X$ называется сферическим, если оно обладает открытой орбитой для индуцированного действия борелевской подгруппы $B \subset G$. В работе [1] в качестве обобщения $T$-корневых подгрупп на торических $T$-многообразиях было предложено изучать $B$-корневые подгруппы на сферических $G$-многообразиях.
Дополнительная мотивация для изучения $B$-корневых подгрупп возникает при описании групп автоморфизмов полных сферических многообразий. Известно, что для полного сферического многообразия $X$ связная компонента единицы $A$ его группы автоморфизмов является линейной алгебраической группой. Если считать действие группы $G$ на $X$ эффективным, то можно отождествить $G$ с подгруппой в $A$, и тогда алгебра Ли $\operatorname{Lie} A$ допускает разложение
\begin{equation} \label{eqn_decomposition} \operatorname{Lie} A = \operatorname{Lie} G \oplus \operatorname{Lie} S \oplus \bigoplus \limits_{i=1}^m \mathfrak a_i, \end{equation}
где $S$ — некоторый подтор в $A$, централизующий группу $G$, а каждое слагаемое $\mathfrak a_i$ — это простой $G$-модуль, старший вектор которого порождает алгебру Ли некоторой $B$-корневой подгруппы в $A$. Заменяя $G$ на $GS$, можно считать $\operatorname{Lie} S = \lbrace 0 \rbrace$, и тогда полное описание всех $B$-корневых подгрупп на $X$ позволяет вычислить $\operatorname{Lie} A$ как $G$-модуль, а последующее нахождение всех коммутационных соотношений между слагаемыми в (\ref{eqn_decomposition}) позволяет восстановить структуру алгебры Ли на $\operatorname{Lie} A$. Отметим, что в торическом случае (когда $G = B = T$ — тор) все слагаемые $\mathfrak a_i$ в (\ref{eqn_decomposition}) автоматически одномерны и находятся в естественной биекции с корнями Демазюра, причём коммутационные соотношения между ними также хорошо известны.
Сферическое $G$-многообразие $X$ называется орисферическим, если стабилизатор точки общего положения в $X$ содержит максимальную унипотентную подгруппу группы $G$, и тороидальным, если никакая $G$-орбита в $X$ не содержится в $B$-инвариантном простом дивизоре, не являющемся $G$-инвариантным. Орисферические многообразия по некоторым свойствам напоминают торические многообразия и потому представляют собой наиболее доступный для изучения класс сферических многообразий. Ещё более близкими к торическим являются тороидальные орисферические многообразия.
В работе [2] получено частичное описание $B$-корневых подгрупп на орисферических многообразиях. В случае полных тороидальных орисферических многообразий это описание оказывается исчерпывающим и позволяет полностью описать связную компоненту единицы группы автоморфизмов соответствующего многообразия, о чём и планируется рассказать в докладе. Исследования поддержаны грантом РНФ 25-11-00302.

Список литературы
[1] I. Arzhantsev, R. Avdeev. Root subgroups on affine spherical varieties. Selecta Math. (N. S.) 28 (2022), no. 3, article 60, see also arXiv: math.AG/2012.02088.
[2] R. Avdeev, V. Zhgoon. Root subgroups on horospherical varieties, arXiv: math.AG/2312.03377 (2023).
[3] M. Demazure. Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 3 (1970), no. 4, 507–588.