Теоремы вложения аналитических функций на бидиске: непрерывная и дискретная модели

Доклад посвящен нескольким вопросам, возникающим в процессе изучения теорем вложения для пространств Дирихле–Соболева аналитических функций на бидиске, и описания их карлесоновых мер. Именно, мы рассматриваем меры $\mu$ на бидиске, удовлетворяющие неравенству
\begin{equation}\notag \begin{split} \int_{\overline{\mathbb{D}}^2}|f|^2(z,w)\,d\mu(z,w)\leq [\mu]^2\|f\|^2_{a}, \end{split} \end{equation}
для некоторой константы $[\mu]$, зависящей только от меры. Здесь $a = (a_1,a_2)\in [0,1]^2$, и
\begin{equation}\notag \begin{split} &f(z,w) = \sum_{k,j\geq0}\hat{f}(k,j)z^kw^j,\quad z,w\in\mathbb{D};\\ &\|f\|^2_{a} = \sum_{k,j\geq0}|\hat{f}(k,j)|^2(k+1)^{a_1}(j+1)^{a_2}. \end{split} \end{equation}
Мы построим дискретную версию такого вложения, и обсудим две задачи, возникающие в процессе дискретизации.