Шахматная раскраска и прямые $y=-\alpha(a^{+}_{2m-1})\cdot x+t$, $\alpha(a^{+}_{2m-1}),t>0$, $\alpha(a^{+}_{2m-1})=[a_{0};a_{1},a_{2},...,a_{2m-2},a^{+}_{2m-1},,...]$ с чётными $a^{+}_{2m-1},...$ при произвольно фиксированном $m$

В марте 2011 г. С.В. Конягиным на семинаре «Современные проблемы теории чисел» была поставлена следующая задача:
В прямоугольной системе координат $OXY$ единичные квадраты с целыми вершинами её первого квадранта $I_{OXY}$ раскрашены в шахматном порядке} (такие квадраты назовём клетками). Разность $\mu(t)$ между количествами белых и черных клеток треугольника $\triangle(t)=OA(t /\alpha)B(t)$, отсекаемого прямой $L(t): y=-\alpha x+t$, $t>0$, от $I_{OXY}$, не ограничена ни снизу, ни сверху при $t\rightarrow\infty$ для любого положительного иррационального $\alpha$
Данная задача решена для таких $\alpha$, что каждое из них имеет представление в виде цепной дроби, элементы которой, начиная с порядка $2m-1$ чётные, т. е. $\alpha(a^{+}_{2m-1})=[a_{0};a_{1}, a_{2},...,a_{2m-2},a^{+}_{2m-1},,...]$. Метод решение основан на геометрической и графической интерпретации цепных дробей, а в качестве основополагающей идеи решения выступает целочисленная аппроксимация отрезка.
Ссылка на онлайн трансляцию семинара https://mian.ktalk.ru/awo7gpxikhtb?pinCode=9201