Равновесные траектории в биматричных играх: гарантирующее управление, стратегия наилучших ответов, репликаторная динамика

Работа посвящена анализу поведения равновесных траекторий для игровых динамических систем, возникающих при решении биматричных игр. Основанием для динамики биматричной игры являются исследования Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского по описанию взаимодействия игроков из больших коалиций (популяций) в дифференциально-эволюционных играх. В первой части исследования рассматривается подход, основанный на идеях гарантирующих стратегий в смысле Н. Н. Красовского. В рамках этого подхода предлагаются алгоритмы построения функций цены, позиционных стратегий и равновесных траекторий с использованием элементов принципа максимума Л. С. Понтрягина. Равновесные траектории конструируются на основе гарантирующих стратегий и составляют основу для динамического равновесия по Нэшу. Во второй части исследуется динамическая система, генерируемая стратегиями наилучших ответов по аналогии с конструкциями модели дуополий Курно. В третьей части анализируются траектории репликаторной динамики, идея построения которых восходит к теории эволюционных игр.

Проводится сравнение интегральных показателей качества для равновесных траекторий всех трех динамических систем. Показано, что характеристики траекторий динамического равновесия с гарантирующими управлениями лучше, чем свойства траекторий со стратегиями наилучших ответов или траекторий репликаторной динамики. Выполнены численные эксперименты для так называемой «смешанной динамики», в которой первый игрок использует гарантирующее управление, а стратегия второго игрока формируется либо по стратегиям наилучших ответов, либо по формулам репликаторной динамики. Результаты моделирования трендов для «смешанной динамики» показывают, что значения функционалов выигрышей игроков в конечных точках движения траекторий доминируют над показателями траекторий динамики наилучших ответов и траекторий репликаторной динамики.