О неустойчивости положений равновесия в 6-скоростной модели дискретной кинетики

Основное уравнение динамики разреженного газа– уравнение Больцмана является интегро-дифференциальным уравнением, чрезвычайно сложным, когда его фактическое разрешение необходимо. Хорошо известно, особенно при численных экспериментах, рассогласование правой и левой частей кинетического уравнения Больцмана. Несовершенство кинетического уравнения Больцмана привело к необходимости построения так называемых дискретных кинетических уравнений. Было предложено несколько упрощенных моделей, среди которых дискретные кинетические уравнения с конечным числом групповых скоростей. Эти модели имеют интересные концептуальные и математические особенности. Доклад посвящен вопросам стабилизации в одномерной 6-скоростной модели дискретной кинетики периодических возмущений положения равновесия к бегущим волнам. Более того, мы покажем, что по аналогии с одномерной моделью Бродуэлла, стабилизация периодических возмущений бегущих волн имеет два характерных поведения, привязанных к разбиению переменных модели на тройки $(n_1, n_2, n_9)$ и $(n_3, n_4, n_{10})$ с одинаковыми групповыми скоростями. Первое — когда возмущение перебрасывается от одной тройки к другой. Например, бегущая волна в одной из троек затухает и возникает во второй тройке (упругое столкновение). Второе — когда при стабилизации в тройке $(n_1, n_2, n_9)$ (также и в тройке $(n_3, n_4, n_{10})$) происходит «уравновешивание» компонент этих групп. Возбужденная бегущая волна стабилизируется к другой бегущей волне (ее деформации) в той же тройке, в то время, как в другой тройке возмущение затухает. Так же как для одномерной модели Бродуэлла, такое поведение можно интерпретировать как столкновение несимметричных шаров. Доклад будет посвящен исследованию природы стабилизации периодических возмущений положения равновесия к распределениям типа бегущих волн.

Список литературы

1. К. С. Платонова, А. В. Боровских, “Групповой анализ одномерного уравнения Больцмана. Инварианты и проблема замыкания моментной системы”, ТМФ, 208:3 (2021), 367–386
2. С. К. Годунов, У. М. Султангазин, “О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана”, Успехи МН, XXVI:3(159) (1974), 3–51
3. Султангазин У.М., Дискретные нелинейные Модели уравнения Больцмана, Наука, Алма-Ата, 1985
4. Euler N., Steeb W.-H., “Painleve Test and Discrete Boltzmann Equations”, Aust. J. Phys., 42 (1989), 1–10
5. T. E. Broadwell, “Study of rarified shear flow by the discrete velocity method”, J. of Fluid Mechanics, 19:3 (1964)
6. Веденяпин В. В., Кинетические уравнения Больцмана и Власова, ФИЗМАТЛИТ, М., 2001, 112 с., ISBN 5-9221-0187-0
7. Т. Карлеман, Математические задачи кинетической теории газов, ИЛ, М., 1960
8. E. V. Radkevich, O. A. Vasil’eva, S. A. Dukhnovskii, “Local equilibrium of the Carleman equation”, Journal of Mathematical Sciences, 207:2, May, 2015
9. О.В. Ильин, “Изучение существования решений и устойчивости кинетической системы Карлемана”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 47:12 (2007), 2076–2087
10. Е.В. Радкевич, О. А. Васильева, С. А. Духновский, “О природе локального равновесия уравнений Карлемана и Годунова-Султангазина”, Современная математика. Фундаментальные направления, 60 (2016) (2016), 1–58
11. Е. В. Радкевич, О. А. Васильева, “О неустойчивости положений равновесия для дискретных кинетических моделей. Экспоненциальная стабилизация регулярных периодических возмущений положений равновесия”, Сибирский математический журнал, 2026, № 3
12. Е.В. Радкевич, О.А. Васильева, “О скорости максвеллизации процесса, моделируемого одномерной кинетической моделью Бродвелла”, 2025 (принята к публикации)