Аннотация:
Доклад основан на совместной работе с Д. А. Ривиным.
Среди многообразий Фано отдельный интерес представляют многообразия с небольшими размерностями когомологий. Мы рассматриваем случай трехмерного многообразия $V_{22}$, которое имеют такие же когомологии, как проективное пространство, и четырехмерного многообразия $V_{18}$, которое имеет такие же когомологии, как четырехмерная квадрика. Поскольку эти многообразия могут иметь деформации, мы рассматриваем многообразия с действием ${\mathbb G}_m$ в случае $V_{22}$ (в частности, в этот случай попадает многообразие Мукаи–Умемуры) и многообразие $V_{18}^s$, которое имеет наибольшую возможную группу автоморфизмов, а именно, $GL_2\rtimes {\mathbb Z}/2$. Последнее можно реализовать также как гиперплоское сечение проективного однородного многообразия $G_2/P_2$ (тогда как $G_2/P_1$ изоморфно пятимерной квадрике). Из наличия ${\mathbb G}_m$-действия стандартной техникой Бялыницки-Бирула несложно доказать, что мотив Чжоу этих многообразий раскладывается в сумму мотивов Лефшеца.
Мы рассматриваем скрученные формы этих многообразий над произвольным полем характеристики $0$. В случае $V_{18}^s$ их еще можно описать как некоторые гладкие эквивариантные компактификации $U_2$-торсора, где $U_2$ обозначает унитарную группу (тогда как в случае $V_{22}$ получается компактификация фактора $PGL_2$-торсора по группе икосаэдра).
Основные результаты следующие:
Теорема. Мотив Чжоу скрученной формы многообразия типа $V_{22}$ с действием ${\mathbb G}_m$ изоморфен мотиву Чжоу трехмерной норменной квадрики.
Заметим, что Бонне доказал изоморфизм мотивов скрученных форм многообразий $G_2/P_1$ и $G_2/P_2$. Наш результат говорит, что мотивный изоморфизм имеет место и для их гладких гиперплоских сечений.
