Спектральная форма многогранников

Французский ученый Бюффон (известный в математике своей иглой) обнаружил следующий замечательный феномен. Рассмотрим произвольный многоугольник на плоскости и построим новый, соединив последовательно середины его сторон. Граф Бюффон заметил, что итерация этой процедуры приводит к аффинно-правильной форме многоугольника.

Я докажу этот факт, используя одну важную теорему из линейной алгебры, а также расскажу о трехмерной версии этой процедуры и соответствующих предельных формах многогранников. Ключевую роль здесь играют замечательные результаты из спектральной теории графов, принадлежащие Колену де Вердье и Ласло Ловасу, а также элементы теории представлений групп симметрий платоновых тел.