Модулярные кривые. Семинар 1

Курс будет посвящён одному классу алгебраических кривых, играющих важную роль в различных разделах математики. Они естественно определяются не в терминах их уравнений, а несколькими другими способами; уравнения тоже будут обсуждаться, но иногда они весьма громоздки.

Исходное определение будет дано в терминах классификации эллиптических кривых с точностью до изоморфизма; начинающие могут считать, что речь идёт о плоских кубических кривых. Окажется, что при такой классификации удобно снабдить эллиптические кривые некоторыми дополнительными структурами; модулярные кривые будут определены как базы универсальных семейств эллиптических кривых с этими структурами.

Затем будет дано определение комплексных модулярных кривых как факторов верхней полуплоскости по некоторым группам дробно-линейных преобразований с целыми коэффициентами. Будут введены модулярные кривые $\mathbb{X}(N)$, $\mathbb{X}_0(N)$, $\mathbb{X}_1(N)$ и рассмотрены примеры.

Насколько позволит время, будет рассказано о приложении модулярных кривых к доказательству Последней Теоремы Ферма, об их связи с загадочной (последней, 26-й) простой спорадической конечной группой по имени Монстр и к построению теории детских рисунков на основе модулярных кривых.

Пререквизиты

Для понимания основных результатов курса будет достаточно некоторых представлений об элементарной алгебраической геометрии, топологии и теории групп.

Примерная программа

1. Эллиптические кривые. История: длина дуги эллипса о классификация плоских кубик Ньютоном. Современное понятие изоморфизма кривых и мечта об универсальных семействах. Кубики как группы и точки конечного порядка. Уровневые структуры и модулярные кривые.
2. Одномерные комплексные торы. Топология комплексных плоских кубик. Униформизация; действие на верхней полуплоскости группы $PSL_2(\mathbb{Z})$ и её подгрупп конечного индекса. Кривые $\mathbb{X}(N)$, $\mathbb{X}_0(N)$, $\mathbb{X}_1(N)$; примеры. Элементы теории детских рисунков.
3. Применения. Модулярность эллиптических кривых и Последняя Теорема Ферма. Рациональность модулярных кривых и простые делители порядка Монстра.
4. Обобщения и перспективы. Поверхности Гильберта—Блюменталя. Открытые проблемы.