О двух «парадоксальных» динамических системах классической механики. Семинар 1

Известно, что если в задаче о движении точки в гравитационном поле неподвижного притягивающего центра (задача Кеплера), начальная скорость точки мала, то ее движение будет ограниченным (точка будет двигаться либо по эллиптической орбите, либо по отрезку прямой до столкновения с притягивающим центром). Нами будет рассмотрен следующий вопрос: существуют ли такие центральные притягивающие поля, для которых почти все решения, начинающиеся с малой начальной скоростью в малой окрестности притягивающего центра, уходят на бесконечность? Т.е. имеется некоторая притягивающая к себе неподвижная точка, возможна ли ситуация, при которой мы располагаем вторую точку к ней сколь угодно близко и начальная скорость ее сколь угодно мала, но расстояние между точками со временем будет увеличиваться неограниченно?

Вторая задача, которую мы рассмотрим, изначально была предложена известным топологом Хасслером Уитни: можно ли так расположить перевернутый маятник на полу поезда, движущегося по прямой, что все время движения маятник не упадет (не коснется пола)? Закон движения поезда предполагается известным заранее и может задаваться любой достаточно регулярной функцией; в частности, ускорение поезда может возрастать неограниченно.

Мы покажем, что ответы на оба вопроса положительные. Попутно слушатели узнают основные понятия теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости Ляпунова, познакомятся с явлением параметрического резонанса и явлением стабилизации маятника Капицы, узнают о применении топологии в теории динамических систем.

Пререквизиты

Желательно иметь некоторое представление о базовых понятиях линейной алгебры (операторы, собственные значения) и базовых понятиях математического анализа (непрерывное отображение, связность, интегрирование и дифференцирование).