Монотонное упрощение узлов и контактная топология

Идея распознавать узлы в трехмерном пространстве, приводя их проекции к какому-либо каноническому виду посредством упрощения, всегда вызывала у специалистов большой скептицизм. Однако несколько лет назад докладчику удалось доказать, что таким образом можно распознавать тривиальный узел. Для этого нужно представлять узлы диаграммами специального вида (так называемыми прямоугольными, или решетчатыми, диаграммами) и, соответственно, измерять их сложность не так, как это делается обычно — подсчетом числа самопересечений проекции.
Ключевые идеи этой работы изначально происходят из контактной топологии, хотя в измененном виде уже совсем не напоминают о ней. Недавно докладчик совместно с М. Прасоловым попытались проанализировать, что мешает использовать тот же подход для произвольных узлов, и естественным образом пришли к критерию упрощаемости прямоугольной диаграммы, который уже совершенно недвусмысленно указывает на то, что ответы на все дальнейшие вопросы, связанные с этим подходом, следует искать в контактной топологии, а именно, теории лежандровых узлов.
Заодно получили теоретическое подтверждение некоторые известные ранее экспериментальные наблюдения, связанные с основными классическими инвариантами лежандровых и трансверсальных узлов, а также замкнутыми косами. Например, удалось доказать гипотезу Джонса, утверждающую, что алгебраическое число пересечений любой минимальной (в смысле числа нитей) замкнутой косы является инвариантом соответствующего ориентированного зацепления.