Теория узлов. Инварианты Васильева. Лекция 4

В теории узлов и зацеплений одно из важнейших мест занимают инварианты конечного типа (еще они называются инвариантами Васильева). Основные результаты теории конечных инвариантов получены в конце прошлого столетия в работах В.А. Васильева и филдсовского лауреата М.Л. Концевича. Многие результаты могут быть изложенты комбинаторным языком, доступным даже студентам младших курсов и сильным школьникам. С другой стороны, в теории до сих пор есть и открытые вопросы (такие как полнота инвариантов Васильева).
Узел – это гладкая замкнутая несамопересекающаяся кривая в пространстве. Два узла считаются эквивалентными, если один можно гладко продеформировать в другой.
Инвариантом узла называется функция, сопоставляющая диаграмме узла (можно понимать как изображение узла на плоскости) некоторое число или многочлен (возможны и другие варианты, о них можно будет узнать в курсе Ивана Лосева), такая что она не меняется при деформациях узла (или, что эквивалентно, движениях Редемейстера). Инварианты Васильева не ограничиваются несамопересекающимися узлами и вычисляются для так называемых сингулярных узлов (узлы с двойными точками).
Для понимания курса будет полезно посетить лекцию и занятия Алексея Брониславовича Сосинского.
Программа курса:

• - Инварианты Васильева, простейшие свойства.
• - Гауссовы диаграммы, их использование для вычисления инвариантов Васильева.
• - Алгебра гауссовых диаграмм. Соотношения. Символ инварианта.
• - Интеграл Концевича как универсальный инвариант Васильева. Конструкция и некоторые свойства без доказательств.