Аннотация:
Речь пойдёт о механизмах, ответственных за стохастический характер поведения некоторых классов
детерминированных гладких динамических систем. Более точно, мы обсудим на примере
гиперболических автоморфизмов торов одну альтернативу популярной технике
Адлера - Вайса - Синая - Боуэна, известной под именем марковских разбиений. Вместо построения
подходящих разбиений фазового пространства исходной системы упомянутая альтернатива предлагает
рассмотреть т. н. двойное расширение исходной системы и перенести вероятностные рассмотрения
в расширенное пространство. Это пространство образовано реализациями случайного процесса;
поэтому оно автоматически оказывается снабжённым такой системой сигма-алгебр (назовём её
перемешивающей фильтрацией), которую вероятностники обычно используют при доказательстве
предельных теорем. По ходу дела мы коснёмся оценки скорости перемешивания, основанной на
наличии спектральной щели у гомоклинического оператора Лапласа – инвариантного
относительно динамики генератора безгранично делимого процесса со значениями в торе, и покажем,
как выглядит формулировка центральной предельной теоремы в данном контексте. Как проделать
нечто подобное для произвольных диффеоморфизмов Аносова или для гиббсовских мер (наш тор был
снабжён мерой Хаара) – открытые проблемы.
|
