Суммы модулей голоморфных функций

Общая формулировка основного рассматриваемого вопроса такова: Как выглядят суммы $|f| + |g|$ для голоморфных в единичном круге функций $f$ и $g$?
Для формализации вопроса предположим, что $w$ — весовая функция, т.е. $w$ — положительная неубывающая непрерывная неограниченная функция на интервале $[0, 1)$. Соответствующий радиальный вес определяется равенством $w(z) = w(|z|)$ для $z$ из единичного круга. Рассмотрим следующую аппроксимационную задачу:
Для заданного радиального веса $w$ построить такие голоморфные в круге функции $f$ и $g$, что сумма $|f| + |g|$ эквивалентна весу $w$, т.е.
$$c w(z) < |f| + |g| < C w(z)$$
для всех $z$ из единичного круга и для некоторых констант $C > c > 0$.
Основной результат доклада даёт явное описание тех радиальных весов, для которых задача имеет решение. Также получен ответ в том случае, когда две функции заменены на конечный набор голоморфных функций. Сходные результаты имеют место в случае нескольких комплексных переменных для круговых строго выпуклых областей с гладкой границей.
О доказательствах.
1. Ограничения на допустимые весовые функции $w$ следуют из классической теоремы Адамара. Также используются базовые свойства логарифмически выпуклых функций.
2. Конструктивная часть: искомые голоморфные функции строятся в виде подходящих лакунарных рядов. А именно, с каждой допустимой весовой функцией $w$ ассоциируется вспомогательная выпуклая функция $v$. Геометрическое рассуждение, основанное на выпуклости функции $v$, позволяет по индукции явно построить частоты и коэффициенты требуемых лакунарных рядов.
Приложения.
Построенные тестовые функции оказываются полезными при изучении мер Карлесона, весовых операторов композиции, обобщенных операторов Чезаро и иных явных линейных операторов.
Доклад основан на совместных работах с Е.Абакумовым.