Н-теорема для обобщений уравнений химической кинетики и уравнения Лиувилля

Для уравнений химической кинетики рассматриваются условия выполнения Н-теоремы Больцмана [1,2]. Эта классическая теорема не только обосновывает 2-й закон термодинамики для описываемых систем, но и дает информацию о поведении решений. Доказательство Н-теоремы делает поведение решений уравнений понятным, так как позволяет узнать, куда они сходится при времени, стремящемся к бесконечности. Это можно сделать без решения уравнений, найдя экстремаль Больцмана - аргумент минимума Н-функции (убывающего на решениях функционала) при условии, что значения линейных законов сохранения фиксированы. Н-теорема обеспечивает устойчивость полученных решений. Рассматриваются условия детального баланса и динамического равновесия. Последнее также называют условием Штюккельберга-Батищевой-Пирогова. В этих случаях Н-теорема доказана [3,4].
Мы доказываем Н-теорему для обобщений уравнений химической кинетики, которые включают в себя такие важные физические примеры, как дискретные модели квантовых кинетических уравнений (уравнений Улинга-Уленбека) и квантовый марковский процесс (квантовое случайное блуждание).
В работах А. Пуанкаре [5], В.В. Козлова и Д.В. Трещева [6] рассматривается новая форма [LINK]-теоремы. Она справедлива для уравнения Лиувилля и его обобщений. Понятие экстремали Больцмана там тоже работает: мы доказываем, что временные средние (средние по Чезаро) совпадают с экстремалями по Больцману [7]. И это делает понятие экстремали Больцмана общематематическим и фундаментальным и как метод поиска стационаров широкого класса уравнений как линейных типа уравнения Лиувилля, так и нелинейных, и как широкое обобщение понятия энтропии.
Мы рассмотрели вариационный принцип Больцмана для уравнения Лиувилля с дискретным временем для круговой модели М. Каца [8,9] и получили точные формулы для размерности пространства линейных инвариантов в этой модели. Это хороший и важный инвариант для любой динамической системы: размерность пространства линейных законов сохранения для соответствующего уравнения Лиувилля.