Аннотация:
В докладе рассматривается вариант обобщенной проблемы Варинга для общих колец, сформулированный в [2]. А именно, будет рассматриваться следующий вопрос.
Проблема 1. Для произвольного кольца $A$ и любого целого положительного $k$ обозначим через
$A_k\subset A$ множество всех конечных сумм $k$-х степеней элементов из $A$. Для любого $a\in A_k$ обозначим через $w_k(a)$ минимальное число слагаемых в представлении $a$ как суммы $k$-х степеней. Определим $w_k(A)=\sup_{a\in A_k} w_k(a)$. (Для некоторых колец
$w_k(A)=\infty$.)
Во многих кольцах имеет смысл говорить об общих элементах. Соответственно, можно поставить вопрос об определении числа
$\widetilde w_k(A)=\sup_{a\in \widetilde A_k} w_k(a)$, где $\widetilde A_k$ — это соответствующее множество общих элементов из $A_k$. Эта проблема называется слабой проблемой Варинга, в отличие от Проблемы 1, которая называется сильной проблемой Варинга.
В докладе мы рассмотрим случай кольца комплексных многочленов $A= C[x_0,x_1,\dots,x_n]$ и будем изучать представления однородных многочленов (форм) в виде суммы $k$-х степеней однородных многочленов. Хорошо известно, что любой однородный многочлен, степень которого делится на $k$, представим в виде суммы $k$-х степеней однородных многочленов. Тем самым сильная проблема Варинга для этого случая может быть сформулирована следующим образом. Обозначим через $S_n^d$ линейное пространство всех форм степени $d$ от $(n+1)$-й переменной.
\smallskip
Проблема 2. Найти супремум по всем формам $f\in S_n^{kd}$ для минимального числа форм степени $d$ таких, что сумма их $k$-х степеней совпадает с $f$.
Заметим, что $\dim S_n^d=\binom {d+n}{n}$ и простое вычисление показывает, что
$$
\frac{\dim S_n^{kd}}{\dim S_n^d}<k^n,\quad\quad \quad \lim_{d\to \infty}\frac{\dim S_n^{kd}}{\dim S_n^d}=k^n.
$$
Следовательно, $k^n$ является нижней оценкой в Проблеме 2. Формулировка слабой проблемы Варинга в рассматриваемой ситуации такова.
\smallskip
Проблема 3. Найти минимум по всем открытых по Зарискому подмножеств в $S_n^{kd}$ числа форм степени $d$, необходимых для представления форм из этих подмножеств в виде суммы их $k$-х степеней. Другими словами, сколько $k$-х степеней форм степени $d$ необходимо, чтобы представить общую форму степени $kd$?
Для сумм степеней линейных форм задача, аналогичная Проблеме 3 была решена Дж. Александером и А. Хиршовицем в середине 90-х годов в серии работ, завершившихся статьей [1]. В наших обозначениях это означает, что нужно зафиксировать $d=1$ и использовать $k$ в качестве параметра. Эти авторы доказали, что слабая проблема Варинга в их постановке для суммы степеней линейных форм имеет решение, предсказанное наивным счетом параметров во всех случаях кроме квадрик во всех размерностях, кубик в размерности 5, и квартик в размерностях 3, 4 и 5. Однако для решения сильной проблемы Варинга требуется существенно большее число линейных форм.
Основной результат доклада следующий.
Tеорема 1. Для данного целого положительного числа $k\ge 2$ общие формы степени $kd$ от $n+1$ переменной представимы в виде суммы не более чем $k^n$$k$-х степеней форм степени $d$. Более того, эта оценка точка при достаточно больших $d$.
Список литературы
J. Alexander, A. Hirschowitz, “Polynomial interpolation in several variables”, J. Alg. Geom., 4 (1995), 201–222
L. Gallardo, L. Vaserstein, “The strict Waring problem for polynomial rings”, Journal of Number Theory, 128 (2008), 2963–2972
