Квазисимметрические функции и их приложения

В настоящее время квазисимметрические функции нашли широкое применение. Цель доклада – дать обзор основных понятий и результатов теории квазисимметрических функций и её приложений.
Квазисимметрической функцией называется степенной ряд ограниченной степени от бесконечного числа переменных $t_1,t_2,\dots$, такой что коэффициенты при любых двух мономах $t_{l_1}^{a_1}t_{l_2}^{a_2}\dots t_{l_k}^{a_k}$, $l_1<l_2\dots<l_k$ и $t_{l_1'}^{a_1}t_{l_2'}^{a_2}\dots t_{l_k'}^{a_k}$, $l_1'<l_2'<\dots<l_k'$ совпадают.
Квазисимметрические функции являются естественным обобщением симметрических функций и в последнее время начинают играть такую же важную роль в математике. Неявно они использовались уже в начале 70-х годов в работах Р. Стенли по теории $P$-разбиений и Е. Диттерса по теории некоммутативных формальных групп. Само же понятие квазисимметрической функции было введено И. Гесселем в 1984 году.
Кольцо квазисимметрических функций Qsym является алгеброй Хопфа, двойственной к алгебре Лейбница-Хопфа некоммутативных симметрических функций Nsym, введённой И. М. Гельфандом, В. С. Ретахом и соавторами в 1995 году.
Алгебра Хопфа Qsym занимает важное место в перечислительной комбинаторике, позволяя строить мультипликативные производящие функции флаговых чисел частично упорядоченных множеств.
Как и в случае симметрических функций, кольцо Qsym является кольцом полиномов над $\mathbb Z$.
Оказывается, Qsym является кольцом когомологий $H$-пространства $\Omega\Sigma\mathbb CP^{\infty}$, причём существует отображение $\Omega\Sigma\mathbb CP^{\infty}\to BU$, такое что индуцированное отображение в когомологиях отвечает включению $\mathrm{Sym}\subset\mathrm{Qsym}$.
Алгебра Хопфа Qsym с каноническим характером является универсальным объектом в категории комбинаторных алгебр Хопфа.
Также кольцо Qsym возникает при построении решения некоммутативного уравнения КП методом формальных степенных рядов и в других разделах современной математики.