Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления с функционалом, заданным несобственным интегралом

Для класса задач оптимального управления с функционалом, заданным несобственным интегралом, получен вариант принципа максимума Понтрягина в нормальной форме с явно заданной сопряженной переменной. Рассматриваемый класс задач мотивирован экономическими приложениями. По форме данный результат аналогичен варианту принципа максимума для задач с доминированием дисконтирующего множителя, полученному ранее в работах [1], [2] при помощи метода конечно-временных аппроксимаций. Основная новизна результата состоит в том, что он справедлив при более слабых условиях на сходимость интегрального функционала, в частности, он может быть применим в ситуации когда интегральный функционал полезности расходится. В последнем случае оптимальность допустимого управления понимается специальным образом. Для задач с расходящимся интегральным функционалом полный вариант принципа максимума получен впервые. Доказательство основано на использовании классического метода игольчатых вариаций.
Следует отметить, что ранее метод игольчатых вариаций применялся для получения принципа максимума для задачи на бесконечном интервале времени в монографии Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко «Математическая теория оптимальных процессов», М.: Физматгиз, 1961. Однако прямое применение этого метода никакой дополнительной информации о сопряженной переменной не дает. Вопрос же о нормальности задачи и о выполнении дополнительных условий на сопряженную переменную (типа условий трансверсальности на бесконечности) является центральным для данного круга задач.
Результат получен совместно с проф. В. М. Вельёвым (V. M. Veliov, Vienna University of Technology, Vienna, Austria) и опубликован в работах [3], [4].

Список литературы

1. S. M. Aseev, A. V. Kryazhimskii, “The Pontryagin maximum principle and transversality conditions for a class of optimal control problems with infinite time horizons”, SIAM J. Control Optim., 43:3 (2004), 1094–1119        
2. С. М. Асеев, А. В. Кряжимский, “Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста”, Тр. МИАН, 257, 2007, 3–271      ; S. M. Aseev, A. V. Kryazhimskii, “The Pontryagin maximum principle and optimal economic growth problems”, Proc. Steklov Inst. Math., 257 (2007), 1–255        
3. S. M. Aseev, V. M. Veliov, “Maximum principle for infinite-horizon optimal control problems with dominating discount”, Dyn. Contin. Discrete Impuls. Syst. Ser. B Appl. Algorithms, 19:1-2 (2012), 43–63      
4. S. M. Aseev, V. M. Veliov, Needle variations in infinite-horizon optimal control, Research Report 2012-04, ORCOS, Vienna University of Technology, Vienna, 2012, 21 pp. 2012-04_Ase-VV_new.pdf