Квазиконформные отображения и гармоническая мера

Мы расскажем про совместные исследования с Кари Асталой и Иштваном Праузе, целью которых является описание размерностной структуры гармонической меры на плоскости.
Гармоническая мера (границы области) — фундаментальный объект в анализе, и может быть определена многими способами: как равновесное электростатическое распределение, как вероятность выхода броуновского движения, как мера, дающая решения задачи Дирихле для гармонических функций. Для односвязных плоских областей гармоническая мера является образом длины при униформизирующем конформном отображении, поэтому многие вопросы комплексного анализа могут быть сведены к ее мультифрактальным свойствам, т.е. изучению множеств точек, где мера имеет заданное степенное поведение. В докладе будет рассказано о возможных подходах к этим вопросам с использованием квазиконформных отображений. Последние имеют ограничения на возможное искажение углов, и поэтому являются менее «жесткими», чем конформные отображения. Зато в плоском случае они всегда вкладываются в однопараметрическое голоморфное движение (квазиконформных отображений), что позволяет использовать инструменты комплексного анализа. С их использованием нам удалось найти несколько переформулировок известных гипотез про поведение гармонической меры через понятия из смежных областей, в частности двумерного комплексного анализа.