Аннотация:
В алгебраической геометрии играют важную роль локальные неравенства, связывающие локальную интегрируемость дробных степеней аналитических функций с различными типами кратностей. Геометрически такие неравенства означают связь между особенностями дивизоров на многообразии и кратностями этих дивизоров. Например, из одного такого неравенства (неравенства Корти) несложно следует знаменитая теорема Исковских-Манина о нерациональности любой неособой трехмерной гиперповерхности степени четыре. Недавно, моя аспирантка (Димитра Коста) неявно доказала новое локальное неравенство в размерности два (для кривых на поверхности). С помощью этого неравенства Димитра доказала существование орбифолндых метрик Кэлера–Эйнштейна на особых поверхностях дель Пеццо степени один, которые имеют простейшие фактор-особенности. К сожалению полученное локальное неравенство выглядит не очень репрезентабельно, а его доказательство не очень геометрично. Я сильно обобщил неравенство Димитры и отметил что оно естественным образом обобщается на орбифолды (Димитра применяла свое неравенство только на минимальном разрешении), с естественной заменой кратностей дивизоров на соответствующие орбифолдные кратности. Полученное новое локальное неравенство можно применить, например, для доказательства существования орбифолндых метрик Кэлера-Эйнштейна на многих поверхностях дель Пеццо, являющихся квазигладкими взвешенными гиперповерхностями, которые изучались ранее мной, Шрамовым и Парком. Новых результатов это не дает, но многие доказательства, полученные нами ранее, сильно (даже очень сильно) упростились. В докладе я раскажу про это неравенство и про то как его применять. На мой взгляд, доклад будет полезен студентам и аспирантам, поскольку 1) формулировка полученного неравенства выглядит мягко говоря не очень симпатично, что, на мой взгляд, является свидетельством того, что полученное локальное неравенство является частным случаем более общего неравенства (которое нужно найти), 2) доказательство полученного неравенства не очень концептуально, и было бы хорошо найти новое индуктивное доказательство, возможно, путем обобщения самого неравенства на более удобное утверждение, по аналогии, например, с доказательством неравенства Корти, 3) у полученного неравенства пока нет многомерного аналога, и было бы интересно такой аналог найти (если, конечно, он существует), 4) у полученного неравенства пока нет никаких новых применений, но ожидается, что такие применения рано или поздно найдутся.
|
