Аннотация:
Пусть $\varrho_n=\beta_n+i\gamma_n$ – комплексные нули дзета-функции Римана $\zeta(s)$ с положительными мнимыми частями, упорядоченными по возрастанию:
$$
14<\gamma_1<\gamma_2<\gamma_3<\dots\le\gamma_n\le\gamma_{n+1}\le\dotsb.
$$
Гипотеза Римана утверждает, что все нули $\varrho_{n}$ лежат на «критической» прямой $\operatorname{Re}s=\frac12$. Все нули $\zeta(s)$, вычисленные к настоящему времени (первые 10 триллионов нулей плюс по несколько миллиардов нулей в окрестностях $\varrho_n$ для
$n=10^k$, $k=13,14,\dots,24$) действительно имеют одну и ту же вещественную часть $\beta_n=\frac12$.
Ещё первые вычислители (Дж. П. Грам, 1903; Дж. И. Хатчинсон, 1925; Э. Ч. Титчмарш, 1936) заметили, что первые ординаты $\gamma_n$ нулей $\zeta(s)$ ведут себя достаточно правильно в следующем смысле: в подавляющем большинстве рассмотренных случаев соседние ординаты $\gamma_n$ и $\gamma_{n+1}$ «отделены» друг от друга точками $t_n$ – членами так называемой последовательности Грама, каждый из которых определяется как единственное решение уравнения
$$
\vartheta(t_{n})=\pi(n-1),
$$
где при $t\to+\infty$ функция $\vartheta(t)$ имеет вид
$$
\vartheta(t)=\frac t2\ln\frac t{2\pi}-\frac t2-\frac\pi8+O\bigl(t^{-1}\bigr).
$$
Точки Грама $t_n$ образуют на числовой оси достаточно регулярную сетку и в первом приближении ведут себя как ординаты $\gamma_n$ нулей $\zeta(s)$:
$$
t_n\sim\gamma_n\sim\frac{2\pi n}{\ln n}.
$$
Обнаруженная закономерность, согласно которой для «большинства» номеров $n$ выполняются неравенства
$$
t_{n-1}<\gamma_{n}\le t_{n},
$$
получила название «закона Грама» или «правила Грама».
Чтобы количественно описать степень отклонения ординаты $\gamma_n$ от правила Грама, Титчмарш предложил в случае, когда для заданного $n$ выполняются неравенства
$$
t_{m-1}<\gamma_{n}\le t_{m},
$$
в качестве меры отклонения рассматривать величину $\Delta_{n}=m-n$ (ясно, что $\gamma_n$ удовлетворяет неравенству Грама тогда и только тогда, когда $\Delta_n=0$). Он же доказал, что так определённые величины $\Delta_n$ при возрастании $n$ не ограничены как сверху, так и снизу. Это означало, что правило Грама допускает бесконечно много исключений. Впрочем, этот результат ничего не говорил о том, как часто встречаются такие исключения.
В 1946 г. А. Сельберг в своей лекции «Дзета-функция и гипотеза Римана» привёл ряд новых результатов, касающихся величин $\Delta_n$, и предположил, что в действительности $\Delta_n$ «почти никогда» не обращаются в нуль, или, что то же, ордината $\gamma_n$ «почти никогда» не попадает в промежуток $(t_{n-1},t_n]$. Иными словами, правило Грама выполняется с точностью до наоборот: то, что раньше, в ходе вычислений первых нулей $\zeta(s)$, считалось нормой, в действительности является исключительно редким явлением, а исключения из этого правила на длинном промежутке настолько часты, что оказываются нормой. Более того, Сельберг предположил, что для «почти всех» $n$ величина $|\Delta_n|$ должна иметь порядок, близкий к $\sqrt{\ln\ln n}$.
Докладчику удалось найти безусловное доказательство первой части гипотезы Сельберга о том, что для почти всех $n$ правило Грама нарушено, т.е. $\Delta_n\ne 0$ для почти всех $n$.
|
