Аннотация:
Пусть $G$ — односвязная полупростая комплексная алгебраическая группа. Хорошо известно, что в разложении тензорного произведения $V(\lambda)\otimes V(\mu)$ простых $G$-модулей со старшими весами $\lambda$ и $\mu$ соответственно на простые $G$-подмодули встречается простой подмодуль $V(\lambda+\mu)$, а также простые подмодули, старшие веса которых строго меньше $\lambda+\mu$ (в смысле стандартного частичного порядка на решётке весов). Подмодуль $V(\lambda+\mu)$ называют картановской компонетной модуля $V(\lambda)\otimes V(\mu)$. Естественно изучать вопрос о том, как вложена картановская компонента в тензорное произведение.
Если $v_{\lambda}$ и $v_{\mu}$ — старшие векторы в $V(\lambda)$ и $V(\mu)$, то картановская компонента совпадает с линейной оболочкой орбиты
$$
G(v_{\lambda}\otimes v_{\mu}).
$$
Ясно, что все элементы указанной орбиты являются разложимыми тензорами нашего тензорного произведения. В случае, если картановская компонента не содержит других разложимых тензоров, её называют малой.
В работе описаны все пары $(\lambda,\mu)$ доминантных весов, для которых соответствующая картановская компонента мала. Из этого описания следует, что если оба веса лежат во внутренности одной грани камеры Вейля (например, оба регулярны), то отвечающая им картановская компонента мала. В доказательстве существенную роль играет отображение моментов.
|
