|
СЕМИНАРЫ |
Городской семинар по теории вероятностей и математической статистике
|
|||
|
Предельные теоремы для случайных матриц с зависимыми элементами А. А. Наумов |
|||
Аннотация: Доклад посвящен случайным матрицам с зависимыми элементами. В первой части доклада рассматриваются случайные матрицы a) b) для любого $$ \mathbb E X_{j k} = 0 \text{ и } \mathbb E X_{j k}^2 = 1; $$ c) для всех $$ \mathbb E ( X_{j k} X_{k j} ) = \rho, |\rho| \le 1; $$ Обозначим через $$ \max_{j,k}\mathbb E|X_{jk}|^2\mathbb I{\{|X_{jk}|>M\}} \rightarrow 0 \quad \text{при}\quad M \rightarrow \infty, $$ мы покажем, что $$ \mathcal E := \left \{ u,v \in \mathbb R: \frac{u^2}{(1+\rho)^2} + \frac{v^2}{(1-\rho)^2} \le 1 \right \}. $$ При дополнительных условиях результат был доказан Гирко (1985), Наумов (2013), Нгуен и О’Рурке (2013). Также обсуждается обобщение результата на случай произведения матриц. Во второй части доклада рассматриваются случайные симметричные матрицы с зависимыми элементами. Предположим, что элементы матрицы имеют нулевое математическое ожидание и конечные дисперсии, которые могут быть различными числами. Предполагая выполнение условия Линдеберга и сходимость нормированных сумм дисперсий в каждой строке и столбце к единице, мы доказываем, что ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения собственных значений матрицы сходится к полукруговому закону Вигнера. Результат может быть обобщен на класс ковариационных матриц с зависимыми элементами. В этом случае ожидаемая эмпирическая спектральная функция распределения сходится к закону Марченко-Пастура. Доклад основан на совместных результатах Ф. Гётце, А.А. Наумова и А.Н. Тихомирова. |