Каскад ортогональных корней и коприсоединённое действие борелевской подгруппы на отрицательную нильпотентную подалгебру (по работам Б. Костанта)

Пусть $G$ — комплексная полупростая группа Ли, $\mathfrak g = \mathfrak u_{-} + \mathfrak t + \mathfrak u$ — треугольное разложение её алгебры Ли. Борелевская подгруппа $B$ с алгеброй $\mathfrak b = \mathfrak t + \mathfrak u$ естественно действует на $\mathfrak u_{-}$ как на сопряжённое к $\mathfrak u$ пространство. У этого действия имеется единственная плотная орбита $X$. Мы рассмотрим специальное множество сильно ортогональных корней, называемое каскадом, и при помощи него построим сечение для действия максимальной унипотентной подгруппы $U \subset B$ на $X$, дающее разложение $X$ в прямое произведение типичной $U$-орбиты и тора, решётка весов которого порождена каскадом. Это замечательное разложение также позволяет изучить алгебру инвариантов коприсоединённого представления $U$ на $\mathfrak u^*$. Будет показано, что она является свободной, все весовые подпространства относительно действия максимального тора $T \subset B$ одномерны, и будут найдены веса базиса этой алгебры.