Оптимальные стратегии инвестирования и перестрахования в стохастических моделях риска

В диссертации исследуются возможности оптимизации показателей работы страховой компании с помощью перестрахования или вложения средств в рисковый актив.
В первой главе изучается классическая модель Крамера-Лундберга и ставится задача максимизации вероятности неразорения компании путем выбора оптимальной стратегии перестрахования и/или инвестиций. В работе рассматривается случай перестрахования эксцедента убытка, и предполагается, что стоимость рыночного актива меняется по закону геометрического броуновского движения. Доказывается, что оптимальная вероятность неразорения удовлетворяет уравнению динамического программирования типа Беллмана-Гамильтона-Якоби, доказывается существование решения этого уравнения, а также существование оптимальной стратегии (теорема верификации).
Во второй и третьей главах исследуется модель работы страховой компании в дискретном времени. Предполагается, что, если капитал компании опустился ниже некоторого заданного уровня $L > 0$, то имеется возможность вливания дополнительных средств в компанию. В такой ситуации ставится задача минимизации дисконтированных вливаний путем выбора оптимальной стратегии инвестирования или перестрахования. В обоих случаях устанавливается, что минимальные дисконтированные вливания удовлетворяют уравнению динамического программирования типа Беллмана, доказывается существование решения этого уравнения. Кроме того, в каждом случае находится интегральное уравнение, которому удовлетворяет оптимальная стратегия на первом шаге процесса и доказывается существование и единственность решения этого уравнения.