О некоторых диофантовых неравенствах с простыми числами

В докладе будут представлены следующие результаты, доказанные автором.
Теорема 1. Если $H>\sqrt{N}\exp(-\ln^{0.1}N)$, то неравенство
$$ |p_1^2+p_2^2-N|\leqslant H $$
разрешимо в простых числах $p_1$ и $p_2$.
Теорема 2. Если $H>N^{\,49/144}\exp(\ln^{0.8}N)$, то неравенство
$$ |p_1^2+p_2^2+p_3^2-N|\leqslant H $$
разрешимо в простых числах $p_1$, $p_2$ и $p_3$.
Теорема 3. Если $H>N^{\,7/72}\exp(\ln^{0.8}N)$, то неравенство
$$ |p_1+p_2-N|\leqslant H $$
разрешимо в простых числах $p_1$ и $p_2$.
По ходу доклада будет рассказано доказательство теоремы 1.