Сходимость аппроксимаций Паде и сильная асимптотика ортогональных многочленов

Задача эффективного аналитического продолжения степенного ряда за пределы его круга сходимости и локализация особенностей соответствующей аналитической функции непосредственно по коэффициентам этого ряда является классической задачей комплексного анализа. Фундаментальные результаты в этом направлении были получены еще в конце XIX века. Наиболее известными из них являются теорема Адамара о нахождении радиусов кругов мероморфности аналитической функции по коэффициентам ее разложения в степенной ряд и теорема Фабри “об отношении”. К этому же кругу вопросов относятся исследования Чебышёва, Маркова и Стилтьеса о непрерывных дробях, которые также строятся непосредственно по коэффициентам степенного ряда. Как оказалось впоследствии, эти и другие результаты теории аналитического продолжения допускают естественную интерпретацию и обобщение в терминах аппроксимаций Паде – локально наилучших рациональных приближений степенного ряда.
В рамках исследования сходимости диагональных аппроксимаций Паде для функций из некоторых естественных классов автору доклада удалось разработать достаточно общий метод построения формул сильной асимптотики для знаменателей таких рациональных аппроксимаций – неэрмитово ортогональных многочленов. Оказалось, что сильная асимптотика этих многочленов может быть полностью описана в терминах решения специальной краевой задачи Римана на некоторой двулистной римановой поверхности. В свою очередь, решение такой краевой задачи дается в явном виде в терминах, непосредственно связанных с римановой поверхностью.