Аннотация:
Проблема описания гексагональных $3$-тканей из дуг окружностей на плоскости была поставлена В. Бляшке и Г. Болом в 1938 году, в полной мере она не решена до сих пор. Под тканью понимается множество дуг окружностей на заданной области, окрашенных в три цвета, с выполнением двух условий:
- (условие слоения) через каждую точку области проходит единственная дуга каждого цвета, причем дуги разных цветов пересекаются
трансверсально;
- (условие замыкания) периода $6$, аналогичное теореме Брианшона.
До 1940 года В. Бляшке, Х. Графом-Р. Зауером, О. Фолком-К. Штрубекером и В. Вундерлихом были найдены различные примеры таких тканей. В течение многих десятилетий не удавалось найти новых примеров, за исключением нескольких примеров тканей из пучков окружностей, которые были найдены Р.С. Балабановой, В.Б. Лазаревой и Х. Эрдоганом, и в 2007 году были обобщены А.М. Шелеховым. Совсем недавно в работах Х. Поттманна, М.Б. Скопенкова и Л.Ши (2012), и Н. Луббеса (2013) были описаны ткани из дуг окружностей на всех поверхностях, отличных от плоскости или сферы.
Мы предложим новую конструкцию, с помощью которой построены 5 новых примеров гексагональных $3$-
тканей из дуг окружностей на плоскости и дадим обзор всех известных примеров.
Во второй части доклада мы обсудим другую близкую задачу - проблему описания всех гладких двумерных поверхностей, содержащих два семейства дуг окружностей. На данный момент проблема остается открытой. В недавней совместной с М.Б. Скопенковым работе мы показали, что любая гладкая поверхность в $\mathbb R^3$, через каждую точку которой можно провести отрезок прямой и дугу окружности, пересекающиеся трансверсально и целиком содержащиеся на этой поверхности, является частью квадрики.
|
