Аннотация:
Непрерывный линейный оператор $T$ в банаховом пространстве (или
пространстве Фреше) $X$ назывют гиперциклическим, если найдется вектор
$x\in X$, орбита которого$\{T^n x\}_{n=0}^\infty$ всюду плотна в $X$
(именно орбита, а не ее линейная оболочка!). Первые примеры
гиперциклических операторов были построены Биркгофом (оператор сдвига
$f\mapsto f(\cdot +1)$ в пространстве всех целых функций
$Hol(\mathbb{C})$), Маклейном (оператор дифференцирования в
$Hol(\mathbb{C})$) и Ролевичем (оператор $2S^*$, где $S^*$ – обратный
сдвиг в $\ell^2(\mathbb{N})$). Систематическое изучение явления
гиперцикличности началось в 1980-х годах в работах Китаи, Гетнера, Годфруа
и Дж. Шапиро.
Ясно, что тождественный оператор – один из самых "негиперциклических"
операторов. В то же время известно, что в гильбертовом пространстве
существуют гиперциклические операторы вида $I+K$, где оператор $K$
компактен и лежит в любом идеале Шаттена. Если $R$ – оператор конечного
ранга, то оператор $I+R$ не может быть гиперциклическим. Однако, заменяя
оператор $I$ некоторым унитарным оператором, можно получить
гиперциклический оператор. В 2010 году Шкарин построил такой унитарный
оператор $U$, что для некоторого оператора $R$ ранга 2 оператор $U+R$ –
гиперциклический. Оставшийся открытым вопрос, можно ли взять $R$ ранга 1,
был вскоре решен утвердительно Софи Гриво.
В докладе будет дан краткий обзор теории гиперциклических операторов, а
также приведено новое доказательство теоремы Гриво, основанное на
функциональной модели одномерных возмущений унитарных операторов.
|
