Поверхности, через каждую точку которых проходит несколько окружностей, лежащих на поверхности

По совместной работе с Ф. Ниловым, Р. Кразаускасом, А. Пахаревым, Х. Потманом и Л. Ши.
Исследование поверхностей в 3-мерном евклидовом пространстве, упомянутых в названии доклада, мотивируется возможными применениями их в архитектуре. Полная классификация таких поверхностей является сложной нерешенной проблемой. Мы дадим ряд примеров таких поверхностей и приведем некоторые результаты, касающиеся последней задачи.
В старой теореме Дарбу утверждается, что поверхность, через каждую точку которой проходит достаточно много окружностей, лежащих на ней, является так называемой циклидой Дарбу. Циклиды Дарбу - это алгебраические поверхности степени не более 4, их класс включает циклиды Дюпона и квадрики. Через каждую точку циклиды Дарбу проходит до 6 таких окружностей. Мы показываем, что определенные тройки семейств окружностей образуют так называемые шестиугольные 3-ткани, и даем полную классификацию всех возможных шестиугольных 3-тканей из окружностей на всех поверхностях, кроме сфер и плоскостей.
Другой класс поверхностей с двумя окружностями через каждую точку получается с помощью параллельных переносов Клиффорда одной окружности вдоль другой в пространстве или в 3-мерной сфере. Этот класс хорошо описывается кватернионами, и наш подход к общей задаче классификации поверхностей с несколькими окружностями через каждую точку состоит в использовании кватернионных рациональных параметризаций.
Большая часть доклада элементарна и доступна даже школьникам. В докладе будет сформулировано несколько нерешенных проблем. Также мы покажем много поверхностей, содержащих несколько окружностей через каждую точку.