Аннотация:
Род Хирцебруха $L$ называется комплексным $F$-мультипликативным (далее для краткости $F$-мультипликативным), если $L[M]=L[F]L[B]$ для любого расслоения $p \colon M \to B$ со слоем $F$, где $p$ – отображение стабильно комплексных многообразий.
Известно, что род $L$ является $F$-мультипликативным для любого стабильно комплексного многообразия тогда и только тогда, когда он задается классическим$\chi_y$-родом комплексных многообразий. В частности, задает род Тодда, сигнатуру, эйлерову характеристику.
$F$-мультипликативный род $L$ называется специальным, если $L[F]=0$.
За последние 20 лет теория комплексных кобордизмов нашла новые приложения в проблеме алгебро-топологических инвариантов особых алгебраических многообразий. Как показал Burt Totaro, важную роль в этом играют специальные$F$-мультипликативные роды, где $F$ — стабильно комплексные многообразия, диффеоморфные комплексным проективным пространствам $\mathbb{C}P(n)$. Теория таких родов оказалась тесно связанной с теорией функций на семействах эллиптических кривых. В настоящее время здесь наиболее известным является род Кричевера, задаваемый функцией Бейкера–Ахиезера, который является универсальным специальным $\mathbb{C}P(3)_*$-мультипликативным родом, где $\mathbb{C}P(3)_*$ – это $\mathbb{C}P(3)$ с канонической $SU(2)$-структурой. Частным случаем рода Кричевера является знаменитый род Ошанина, задаваемый эллиптическим синусом Якоби.
Недавно в наших работах был построен универсальный специальный$\mathbb{C}P(2)$-мультипликативный род. Он представляет собой двупараметрическое семейство эллиптических родов, в которое не входит род Ошанина. Получен явный вид соответствующей формальной группы и, в качестве следствия, построена эллиптическая теория когомологий с кольцом скаляров $\mathbb{Z}_{(2)}[a,b]$, где $\mathbb{Z}_{(2)}$ – кольцо целых 2-адических чисел,
$\deg a =-2,\, \deg b =-6$.
Неожиданным и важным оказалось то,что наш специальный$\mathbb{C}P(2)$-мультипликативный род реализуется в виде рода Кричевера, то есть является также специальным $\mathbb{C}P(3)_*$-мультипликативным родом.
|
