Рациональные приближения действительных чисел. Лекция 1

Действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными. А насколько хорошим может быть такое приближение – в сравнении с его сложностью? Например, оборвав десятичную запись числа $x$ на $k$-й цифре после запятой, мы получим приближение $x\approx a/10^k$ с ошибкой порядка $1/10^k$. И вообще, зафиксировав знаменатель $q$ у приближающей дроби, мы точно можем получить приближение с ошибкой порядка $1/q$ (точно не больше $1/2^q$, и в среднем $1/4^q$). А можно ли сделать лучше?
Знакомое всем приближение $\pi\approx22/7$ даёт ошибку порядка $1/1000$ – то есть явно сильно лучше, чем можно было бы ожидать. А почему? Повезло ли нам, что у ? такое приближение есть? Оказывается, что для любого иррационального числа есть бесконечно много дробей $p/q$, приближающих его лучше, чем $1/q^2$. Это утверждает теорема Дирихле – и мы начнём курс с её немного нестандартного доказательства.
А именно, мы посмотрим на ряды Фарея – выписанные по возрастанию несократимые дроби со знаменателем, не превосходящим данного числа. Оказывается, что они удовлетворяют нескольким совершенно удивительным свойствам: например, каждое из них это «сумма двоечника» (числитель с числителем, знаменатель со знаменателем) своих соседей. Из свойств рядов Фарея мы и выведем теорему Дирихле.

Программа курса
1. Ряды Фарея, их свойства. Теорема Дирихле о приближаемости.
2. Цепные дроби, их свойства. Их связь с рядами Фарея, второе доказательство теоремы Дирихле.
3. (если позволит время) Не-приближаемость алгебраических чисел, явный пример трансцендентного числа.
4. Зиккурат Дженкинса–Ноймана, два его описания и теорема о самоподобии множества его вершин.