Дифференцирования в алгебре. Лекция 2

Знакомая большинству из вас формула Лейбница утверждает, что $(fg)'=f'g+fg'$. А какие ещё операции обладают аналогичным свойством? Задавшись этим вопросом, естественно определить дифференцирование алгебры $А$ как такое линейное отображение $D$ из $A$ в $A$, что $D(fg)=D(f)g+fD(g)$ для любых $f,g\in A$.
В этом курсе мы поговорим о дифференцированиях коммутативных алгебр, в первую очередь, алгебры многочленов от многих переменных. Хотелось бы описать все дифференцирования и изучить их свойства. Начала этой теории вполне элементарны. В то же время дифференцирования тесно связаны со сложными задачами алгебраической геометрии, теории групп преобразований и теории представлений.
О дифференцированиях известно много. При этом некоторые естественные вопросы остаются без ответа, хотя не кажутся безнадежными. На мой взгляд, эта тематика как нельзя лучше подходит для того, чтобы начать собственные математические исследования.
На занятиях мы обсудим следующие темы.
Алгебры и их дифференцирования. Алгебра Ли дифференцирований. Локально нильпотентные и локально конечные дифференцирования. Степенные функции и факториально замкнутые алгебры. Свойства локально нильпотентных дифференцирований. Экспоненциальное отображение, отображение Диксмье и теорема о слайсе. Начальные сведения об аффинных алгебраических многообразиях и алгебраических группах. Действия алгебраических торов и градуировки. Действия аддитивной группы и локально нильпотентные дифференцирования. Однородные дифференцирования. Дифференцирования полугрупповых алгебр и корни Демазюра.