Изгибаемые многогранники. Лекция 1

Теория изгибаемых многогранников восходит к классическим работам 19-го века А. М. Лежандра, О. Коши, Ж. Г. Дарбу, Р. Брикара и др. Изгибаемый многогранник – это многогранник (точнее, поверхность многогранника) с жёсткими гранями и шарнирами (петлями) в ребрах, который допускает изгибания с непрерывным изменением двугранных углов в ребрах. По сути вопрос об изгибаемости многогранников есть алгебраический вопрос о совместности систем полиномиальных уравнений специального вида. Тем не менее, эта область исследований естественно имеет и геометрические аспекты, а также важные связи с топологией и теорией эллиптических функций.
Очень большую роль в развитии теории изгибаемых многогранников сыграла работа Р. Брикара (1897), в которой были построены и классифицированы самопересекающиеся изгибаемые октаэдры и доказано отсутствие несамопересекающихся изгибаемых октаэдров. В дальнейшем, важнейшими продвижениями были такие: построение несамопересекающихся изгибаемых многогранников (Р. Коннелли, 1977), доказательство того, что «почти все» многогранники являются неизгибаемыми (Х. Глак, 1970-е, А. Л. Фогельзангер, 1980-е), доказательство гипотезы о кузнечных мехах, утверждающей, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания (И. Х. Сабитов, 1996). Большая часть результатов последнего времени относится к многомерным обобщениям изгибаемых многогранников. В частности, лектором построены самопересекающиеся изгибаемые многогранники всех размерностей (2013) и доказан многомерный аналог теоремы Сабитова (2012).
В мини-курсе планируется сосредоточиться на геометрически наглядном классическом случае изгибаемых многогранников в трёхмерном пространстве. Тем не менее, на этом примере планируется рассказать и о некоторых новых идеях и связях, возникших первоначально в многомерной ситуации, но оказывающихся интересными и полезными и в трёхмерном случае.

Программа курса
1. Теорема Глака о неизгибаемости многогранников общего положения.
2. Геометрическая конструкция изгибаемых многогранников Брикара 1-го и 2-го типа.
3. Параметризации изгибаемых октаэдров и эллиптические функции. Изгибаемые многогранники в трёхмерной сфере: 3 типа сферических октаэдров Брикара и 4-ый экзотический тип.
4. Формула Шлефли: сохранение полной средней кривизны многогранника при его изгибаниях.
5. Теорема Сабитова: сохранение объёма многогранника при его изгибаниях.