Нестандартный анализ. Занятие 4

Все физики и многие математики любят говорить о «бесконечно малых приращениях параметра», «бесконечно больших значениях функции» и так далее. Однако математики при этом обычно подразумевают возможность формализовать свои рассуждения, рассматривая сходящуюся к нулю последовательность или неограниченно возрастающую функцию («для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$» и так далее). Перевод интуитивно понятных «бесконечно малых» на язык «$\varepsilon$–$\delta$» зачастую бывает очень утомителен. Нестандартный анализ, придуманный в 1960 году Абрахамом Робинсоном, позволяет обращаться с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами как с обычными числами (и это лишь малая часть того, что он позволяет делать).
С тех пор возникли разные подходы к построению нестандартного анализа. Я расскажу про один из них: теорию внутренних множеств (IST = Internal Set Theory) Эдварда Нельсона. В этой теории к обычной теории множеств добавляется новое свойство (предикат) «стандартности», то есть про объект мы теперь можем сказать, является ли он стандартным.
Например: $100500$, $\pi$, $e$, $2\pi/e$ и так далее – стандартные числа, а вот бесконечно большие и бесконечно маленькие числа стандартными не являются (но существуют!). Логарифм и синус – стандартные функции, но существуют и нестандартные.
Взаимоотношения этого нового свойства «стандартности» с обычной теорией множеств регулируются тремя дополнительными аксиомами: идеализации (I), стандартизации (S) и переноса (T). При этом все теоремы «обычной» математики остаются верными (а неверных теорем не возникает), но у нас появляется дополнительный инструмент для их доказательства, а также расширяются выразительные возможности языка.
Я покажу, как использовать этот новый язык, на конкретных простых примерах. В частности, мы обсудим понятия предела, непрерывности, производной, интеграла, компактности и т.д., а также научимся решать «стандартные» задачи, используя «нестандартные» методы.
От слушателей требуется владение понятиями предела, непрерывности, производной. Желательно знакомство с элементарной теорией множеств.