Нормальные многообразия и насыщенные множества точек. Лекция 3

Данный курс лекций имеет в основном комбинаторный характер и мотивацию из алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии хорошими являются нормальные многообразия и плохими — ненормальные, например, кривая $x^2 = y^3$. Во многих случаях проверка нормальности является комбинаторной задачей, и мы обсудим различные методы её решения. Курс будет посвящён преимущественно комбинаторной стороне вопроса, знания алгебраической геометрии не нужно.
Определение. Множество точек $v_1,v_2,\ldots,v_m$ в $\mathbb{Q}^n$ называется насыщенным, если
$$\mathbb{Z}_{\geqslant 0}(v_1,v_2,\ldots,v_m)=\mathbb{Q}_{\geqslant 0}(v_1,v_2,\ldots,v_m)\cup\mathbb{Z}(v_1,v_2,\ldots,v_m).$$

Типичная задача 1 (возникающая в алгебре и имеющая комбинаторный вид. Можно решать до начала курса). Пусть $n\geqslant 2$, $M$ — какое-то подмножество во множестве
$$\{(0,0,\ldots,0,\underset{\text{$i$-е место}}{1},0,\ldots,0,\underset{\text{$j$-е место}}{1},0,\ldots,0)\mid 1\leqslant i,j\leqslant n,i\neq j\}$$
(одна единичка и одна минус единичка). Доказать, что $M$ насыщенно.
Задача 2. Рассмотрим множество
$$\{(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\mid\text{ровно три раза} -1\}.$$
Докажите, что любое подмножество в нём является насыщенным.
Задача 3. Рассмотрим множество
$$\{(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\mid\text{четное число минусов}\}.$$
Докажите, что любое подмножество в нём является насыщенным.
Программа курса
На первом занятии мы обсудим простейшие свойства насыщенных множеств. После этого мы обсудим насыщенность применительно к графам. Графу без петель и кратных рёбер (но с пронумерованными вершинами) соответствует множество точек
$$\{e_i+e_j\mid ij-\text{ребро в графе}\}.$$
Алгебраистам важно знать, когда построенное множество насыщенно. Мы дадим комбинаторный ответ на этот вопрос. Если хватит времени, мы также разберём решение задачи 1.
Второе занятие будет посвящено матроидам. Я дам определение и докажу основные свойства. В большинстве книг при обсуждении матроидов вводится очень много аксиоматики и доказывается слишком много полезных свойств, мы постараемся ограничиться самым необходимым. Целью этого занятия будет доказательство теоремы Уайта:
Теорема 1. Для любой точки в аффинном конусе над классическим грассманианом $Gr(k,n)$ замыкание её $T$-орбиты нормально.
Комбинаторно это можно переформулировать так: множество векторов инцидентности баз матроида также является насыщенным.
На третьем занятии планируется изучить унимодулярные множества точек и их обобщения. Нужно знать, что такое определитель. Ключевым утверждением является теорема, доказанная Штурмфельсом.
Теорема 2. Если все ненулевые определители в нашем множестве точек равны по модулю, то данное множество насыщенно.
Мы разберём задачу 2 и обсудим задачу 3. Также планируется обсудить обобщение теоремы на те случаи, в которых не все определители равны.
Если хватит времени, то мы обсудим вопросы насыщенности в применении к системам корней и к неприводимым представлениям простых групп Ли.
Необходимые знания. От слушателей предполагается знание определения графа и знакомство с определителем (например, если вы знаете формулу объёма прямоугольного параллелепипеда в трёхмерном пространстве через определитель, этого должно хватить для понимания лекций). Остальные понятия будут определены.