Фракталы и мультифрактальный формализм. Семинар 1

Обобщение понятия размерности, которое приписывает некоторым множествам в евклидовом пространстве дробную размерность (сохраняя при этом для гладких кривых размерность 1, для гладких поверхностей размерность 2 и т.д.) — это известная уже в «школьной» занимательной математике конструкция, хотя математически она может быть формализована по-разному. Множества, размерность которых в каком-то смысле является дробной и превышает их топологическую размерность (которая всегда выражается целым числом), принято называть фракталами.

Мы начнем с аккуратных определений двух формализаций понятия дробной размерности: боксовой размерности и размерности Хаусдорфа (а заодно еще определим и внешнюю меру Хаусдорфа). Из простых примеров будет видно, что в терминах боксовой размерности фрактальность может оказываться артефактом: дробную боксовую размерность могут иметь множества, по существу не обладащие нетривиальной тонкой структурой фрактала. Хаусдорфова размерность свободна от этого недостатка, но ее аккуратное вычисление существенно труднее. Мы покажем, как с помощью леммы Фростмана можно строго вычислить хаусдорфову размерность канторова множества средних третей.

Вторая часть нашего рассказа будет касаться мультифрактальности, т.е. фрактальных свойств мер: грубо говоря, мы будем смотреть не на геометрические объекты — множества, расположенные в пространстве, а на непрерывно распределенную по этим множествам массу (выражаясь строго, положительную счетно-аддитивную меру). Мы увидим, что такое мультифрактальный спектр меры и в чем заключается «мультифрактальный формализм» — изобретенный физиками Дж. Паризи и У. Фришем способ вычисления мультифрактального спектра.

Предварительное знание понятия меры не требуется. Некоторое преимущество в понимании первой части курса будет у тех, кто знает, что такое спрямляемая кривая, но это тоже совершенно не обязательно.