Об одном принципе «альтернирования»

Комбинаторная геометрия — это современная и бурно развивающаяся математическая дисциплина, которая окончательно сформировалась лишь в XX веке. И в комбинаторной геометрии есть несколько проблем, сыгравших наиболее значительную роль в становлении этой науки. Здесь следует особенно выделить проблему Борсука о разбиении множеств на части меньшего диаметра и проблему Нелсона–Эрдеша–Хадвигера о раскрасках метрических пространств. Если проблема Борсука берет свое начало из гипотезы Борсука о том, что всякое ограниченное неодноточечное множество в $R^n$ может быть «разрезано» на $n+1$ «дольку» меньшего диаметра, то проблема Нелсона–Эрдеша–Хадвигера сводится к отысканию минимального количества цветов, в которые можно так раскрасить все точки некоторого метрического пространства, чтобы расстояние между одноцветными точками не принадлежало заданному наперед множеству положительных вещественных чисел.
В начале 80-х годов XX века П. Франкл и Р. М. Уилсон добились прорыва в проблеме Нелсона–Эрдеша–Хадвигера, а десять лет спустя Дж. Кан и Г. Калаи неожиданно показали, что с помощью идей Франкла–Уилсона удается строить контрпримеры к гипотезе Борсука. Таким образом, была установлена удивительно глубокая связь между двумя задачами.
Результаты Франкла–Уилсона и Кана–Калаи были слегка улучшены автором в конце 90-х. Однако дальнейших продвижений добиться не получалось. Недавно автором был предложен метод, который из некоторых соображений представляется разумным называть методом (или принципом) «альтернирования». С помощью этого принципа автору удалось усилить ряд прежних результатов, а также продемонстрировать еще более глубокие связи между задачами. Кроме того, возникло несколько новых приложений метода.
В докладе будет изложена история вопроса и рассказано об идеях, на которых основан принцип альтернирования.