Вариационные задачи и эллиптические уравнения с нестандартными условиями роста

Главной чертой рассматриваемых задач является так называемый эффект Лаврентьева (1926): может оказаться, что минимум по множеству всех допустимых функций строго меньше точной нижней грани по множеству всех гладких допустимых функций. Это означает неединственность особого рода: с данным лагранжианом и данными краевыми условиями связаны по меньшей мере две различные вариационные задачи (каждая из которых часто имеет единственное решение). Модельным функционалом служит обобщение обычного интеграла Дирихле — интеграл от модуля градиента в переменной степени. За последнее десятилетие эллиптические уравнения с переменным «порядком нелинейности» интенсивно изучаются в связи с многочисленными приложениями.
1. Примеры, демонстрирующие эффект Лаврентьева в одномерных задачах.
2. Обзор классических результатов по многомерным вариационным задачам, гельдеровость решений и свойство повышенной суммируемости градиента решений.
3. Класс лагранжианов с нестандартными условиями роста. Модельный пример: интеграл от градиента в переменной степени («переменный порядок нелинейности»). Пример на эффект Лаврентьева. Проблема выбора решения. Задачи первого и второго типов.
4. Логарифмическое условие на показатель, обеспечивающее отсутствие эффекта Лаврентьева и свойства регулярности решения. Обобщение логарифмического условия.
5. Нелинейное усреднение и эффект Лаврентьева. Шахматный композит.
6. О некоторых уравнениях с «переменным порядком нелинейности»: задача о термисторе, уравнения движения вязкой жидкости в присутствии электромагнитного поля (theory of electrorheological fluids) и др.
7. Обсуждение проблемы аппроксимации.