Замкнутыe геодезическиe на плоской поверхности и многомерныe каспы пространствa модулей абелевых дифференциалов

Многие динамические системы в размерности 1 и 2 (перекладывания отрезков; биллиарды в рациональных многоугольниках; гамильтоновы системы, заданные многозначными гамильтонианами) эквивалентны прямолинейному потоку на плоской поверхности — компактной поверхности, наделенной плоской метрикой с несколькими коническими особенностями. (Такая плоская структура может быть задана голоморфной 1-формой на римановой поверхности; семейства плоских структур отвечают пространствам модулей голоморфних 1-форм.)
На пространстве плоских поверхностей действует группа $SL(2,R)$. Оказывается, для того чтобы описать динамику прямолинейного потока на индивидуальной плоской поверхности, достаточно найти орбиту соответствующей поверхности под действием группы $SL(2,R)$.
В докладе будет дан обзор основных результатов, касающихся динамики прямолинейных потоков. В конце доклада мы подробнее расскажем о подсчете числа замкнутых геодезических на плоских поверхностях и о том, как этот подсчет сводится к вычислению объемов каспов на пространстве модулей. (Необходимые сведения о пространствах модулей будут даны по ходу доклада.)