Матричная теорема Эйлера–Ферма

Обобщенная Эйлером малая теорема Ферма имеет вид сравнения $a^{\phi(n)}=1\pmod n$, где $\phi(n)$ — функция Эйлера, значение которой равно числу взаимно простых с $n$ остатков от деления на $n$.
Эта теорема вытекает из того, что диаграмма Юнга операции умножения всех взаимно простых с $n$ вычетов на один из них является прямоугольником.
Матричный аналог заменяет целое число $a$ целочисленной матрицей $A$ (любого конечного порядка), а сравнение имеет вид соотношения между следами: след матрицы $A^n$ = следу матрицы $A^(n-\phi(n))\pmod n$. Это сравнение доказано сейчас для $n=p^a$, где $p$ — простое число и $a=1,2$ или $3$. Для $n=6$ оно неверно, а для $a=4$ доказано при $p<30$. Кроме того, вопрос о его справедливости для всех матриц $A$ при фиксированном простом $p$ алгоритмически разрешим (для $p=11,\dots,29$ потребовалась компьютерная реализация этого алгоритма, выполненная М. Э. Казаряном).
Исследования сравнений Эйлера–Ферма основаны на замечательной формуле теории симметрических функций, которую я называю формулой Жирара–Ньютона, так как ее следовало бы включить в статьи Жирара (1626) и Ньютона (1707), которые лишь доказали ее существование, но не выписали эту формулу (доставляющую и энтропию Шеннона).