Топология пространств изоспектральных эрмитовых матриц, инвариантных относительно действия тора

Пространство $M_n$ эрмитовых $n\times n$-матриц с фиксированным простым спектром гомеоморфно многообразию полных флагов в $\mathbb{C}^n$. Это многообразие имеет размерность $n(n-1)/2$ и несет на себе эффективное действие компактного тора $T^{n-1}$. Возникает задача: найти и исследовать топологию естественных подмногообразий в $M_n$, инвариантных относительно действия тора и имеющих размерность $2(n-1)+k$, где число $k$, называемое сложностью действия, невелико. Мы рассматриваем подпространства, состоящие из матриц, имеющих нули на заданных внедиагональных позициях.
Отдельные частные случаи особенно интересны: ступенчатые матрицы, матрицы-стрелки и периодические трехдиагональные матрицы. Матрицы ступенчатой формы естественно возникают в численной математике, а многообразия таких матриц оказались тесно связаны с многообразиями Хессенберга в алгебраической геометрии. Матрицы-стрелки (матрицы с нулями вне диагонали, первой строки и первого столбца) возникали в работах А.П.Веселова при исследовании уравнения Лиувилля. Периодические трехдиагональные матрицы (трехдиагональные матрицы с дополнительными элементами в углах) возникли в работах И.М.Кричевера, связанных с периодическим разностным оператором Шрёдингера.
В докладе будет дан обзор имеющихся результатов о топологии пространств изоспектральных матриц с нулями на заданных позициях. В частности, будут приведены результаты докладчика, основанные на методах торической топологии, о трех перечисленных классах матриц.