Рациональность алгебраических поверхностей и смежные вопросы над алгебраически незамкнутыми полями

Неприводимое алгебраическое многообразие называется рациональным, если оно бирационально эквивалентно проективному пространству соответствующей размерности, то есть существует открытое в топологии Зарисского множество изоморфное открытому (в топологии Зарисского) подмножеству проективного пространства. Это свойство очень просто можно переформулировать в терминах теории полей: алгебраическое многообразие рационально, если его поле рациональных функций является чисто трансцендентным расширением основного поля.
В случае размерности один и размерности два над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 проблема рациональности полностью решена Люротом и Кастельнуово соответственно: такие многообразия описываются набором инвариантов. Для размерности три имеется большое количество проблем даже в случае алгебраически замкнутого поля.
В докладе будут рассмотрены вопросы рациональности и смежные вопросы для алгебраических поверхностей над алгебраически незамкнутыми полями характеристики 0. Будет произведён обзор классических результатов и методов, рассказано о новых результатах полученных по этой теме совсем недавно, а также объяснена связь этих результатов с теорией полей.