Опровержение гипотезы о превалировании гиперболических узлов и зацеплений

Доказанная в 1978 году Тёрстоном классификационная теорема утверждает, что каждый не торический и не сателлитный узел гиперболичен, т. е. на его дополнении можно ввести полную гиперболическую метрику конечного объема. Эта классификация возникла в преддверии геометризационной гипотезы (сформулированной Тёрстоном в 1982 году и доказанной Григорием Перельманом в 2003).
В разрезе множества простых узлов, классификация Тёрстона имеет оттенок парадоксальности: она утверждает, что это множество разбивается на три весьма специфических класса, каждый из которых производит впечатление лишь довольно малой доли целого. Статистика показывает, что большинство простых узлов достижимого для распознавания уровня сложности — гиперболичны (из 352 млн простых узлов с не более 19 перекрестками лишь 394 узла негиперболичны), и на протяжении нескольких десятилетий господствовало мнение, что ключом к возникшему парадоксу является гиперболичность: гиперболические узлы в определенном смысле доминируют. В частности, считалась правдоподобной гипотеза о том, что доля гиперболических узлов в множестве всех простых узлов с не более чем $n$ перекрестками стремится к 1 при $n$ стремящемся к бесконечности. В июле этого года докладчиком совместно с Юрием Белоусовым нам удалось опровергнуть эту гипотезу.
В докладе будет объяснено, почему гипотеза о гиперболичности неверна, как это согласуется со статистическими данными, и рассказано, в каких случаях гиперболические объекты все же преобладают.