Аннотация:
А.Н.Колмогоров (1956) поставил задачу оценки точности безгранично делимой
аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин,
распределения которых сосредоточены на коротких интервалах длины $\tau<1/2$ с
точностью до малой вероятности $p$. Ограничение на распределения слагаемых
является неасимптотическим аналогом классического условия бесконечной
малости (пренебрежимости) в схеме серий независимых случайных величин.
Оценка точности приближения может рассматриваться как количественное
уточнение классической теоремы Хинчина о множестве безгранично делимых
распределений как множестве предельных законов для распределений сумм,
участвующих в схеме серий. А.Ю. Зайцев (1983) доказал, что в одномерном
случае точность аппроксимации в метрике Леви имеет вид $c(p+\tau \log(1/\tau))$,
что значительно точнее как первоначального результата А.Н. Колмогорова,
так и полученных позднее результатов других авторов. В качестве
приближающих использовались так называемые сопровождающие безгранично
делимые распределения. Более того, как показал Т. Арак, оценка оказалась
правильной по порядку. Позднее А.Ю. Зайцев (1989) показал, что аналогичная
оценка справедлива и в многомерном случае, причем вместо абсолютной
константы c в оценке появляется множитель $c(d)$, зависящий только от
размерности $d$. Многомерный аналог метрики Леви определялся так же, как
расстояние Прохорова, только вместо произвольных борелевских множеств
использовались параллелепипеды со сторонами, параллельными координатным
осям. В недавней работе Ф. Гётце, А.Ю. Зайцева и Д.Н. Запорожца (2019)
было показано, что вместо параллелепипедов в этом результате можно взять
выпуклые многогранники с ограниченным числом m количеством
полупространств, участвующих в их определениях. В работе А.Ю. Зайцева
(совместно с Ф.Гётце), принятой к опубликованию в журнале "Теория
вероятностей и ее применения", показано, что эти результаты могут быть
получены с помощью некоторого альтернативного класса аппроксимирующих
безгранично делимых распределений. Распределения из этого класса
отличаются от сопровождающих заменой спектральной меры в $\tau$-окрестности
нуля, не меняющей среднего значения и ковариационного оператора.
Результаты обобщены и на бесконечномерный случай. Их можно считать
адекватными бесконечномерными аналогами второй равномерной предельной
теоремы Колмогорова. Константы при этом зависят только от $m$.
|