Дифференцирование измеримых функций и структурные теоремы типа Уитни–Лузина

Пусть $P\subset\mathbb R^n$ – подмножество положительной $n$-меры. Определяется понятие $k$-квазигладких функций $f\colon P\to\mathbb R$, где $k$ – целое, $k\ge 0$. Этот класс функций характеризуется в терминах аппроксимации дифференцируемости $k$-го порядка в смысле Пеано для почти всякой точки $P$.
Для $k=0$ получаем структурную теорию измеримых функций Егорова–Данжуа–Лузина. При $k\ge 1$ установлена связь теории Лузина с теорией Уитни $k$-гладких функций на произвольных замкнутых подмножествах в $\mathbb R^n$.
Будут рассмотрены применения к гармоническому анализу, сингулярным интегралам, теории потенциала и уравнениям в частных производных.